Опубликовано в журнале Новый Мир, номер 7, 2003
Московский центр непрерывного математического образования
Сегодня речь пойдет о сайте Московского центра непрерывного математического образования (МЦНМО) www.mccme.ru, созданного главным образом усилиями сотрудников Независимого математического университета (НМУ). Это новый математический университет, организованный менее трех лет назад ведущими российскими математиками (Лицензия на право ведения образовательной деятельности номер 24-0307 от 22 ноября 2000 года), которые сделали попытку выстроить с чистого листа всю систему математического образования, для чего и существует, в частности, МЦНМО.
Цели и задачи Центра сформулированы так: “Московский центр непрерывного математического образования ставит своей целью сохранение и развитие традиций математического образования в г. Москве, поддержку различных форм внеклассной работы со школьниками (кружков, олимпиад, турниров и т. д.), методическую помощь руководителям кружков и преподавателям классов с углубленным изучением математики, поддержку программ в области преподавания математики в высшей школе и аспирантуре, в научной работе и преподавании.
Центр является некоммерческой организацией и не ставит своей целью извлечение прибыли. Обучение школьников и студентов, которое проводят различные организации в рамках программ Центра, является бесплатным для учащихся”.
Некоммерческий характер Центра очень важен — все материалы, выставленные на сайте (а это уже сегодня огромное собрание, и на некоторых я остановлюсь подробно), распространяются бесплатно, все кружки и математические школы, на которые дает ссылки Центр, — бесплатны. Единственной условно платной продукцией, которую предлагает Центр, являются книги издательства МЦНМО. “Условно” — потому что очень многие книги этого издательства представлены здесь же на сайте в свободном доступе.
Математическое образование должно быть непрерывным. Эта мысль прямо выражена в названии МЦНМО. Математическое образование начинается в средней школе и, в принципе, охватывает всю деятельную жизнь человека, сопровождает его все то время, пока он включен в процесс изучения математики или процесс получения математических результатов (тем более, что это один и тот же процесс). Это попытка провести непрерывную линию между школой, университетом и дальнейшей научной работой — без скачков и разрывов, неизбежных сегодня при переходе из школы в вуз. Центр старается решить эту задачу в одном, но важном частном случае — в обучении математике. Но это вовсе не значит, что материалы, собранные на сайте, интересны только вундеркиндам или их учителям. Здесь можно найти задачи и статьи любого уровня. И это тоже важно.
Тем не менее то математическое образование, которому посвящен сайт, не предполагает особой массовости — оно, конечно, не всеобще. Но нет и никакой особой элитарности. Сообщение о 66-й Московской математической олимпиаде: “Городской тур для 8 — 11 классов состоялся в воскресенье, 2 марта 2003 года с 10 часов утра в зданиях МГУ на Воробьевых горах. В нем приняли участие более 2307 человек” (http://www.mccme.ru/olympiads/mmo).
На математический праздник, куда приходят ученики 6-х или 7-х классов, тоже собралось около 1238 участников.
Это совсем не мало. Даже для очень большого города. И это значит, что проблемы, которые решает Центр, касаются многих тысяч учеников, их родителей и учителей. А ведь олимпиады проходят не только в Москве, и все результаты и задачи доступны именно на сайте.
Я довольно давно наблюдаю происходящее в Московском университете в дни городских олимпиад. Сначала как участник, потом как отец участника. Все здесь понятно и знакомо и совершенно неотъемлемо.
Когда дети выходят из аудиторий возбужденные, растерянные, сосредоточенные, еще не отпущенные на волю цепкими лапками нерешенной задачи, они очень красивы. Красивыми их делает одухотворенность — отчетливо видимая работа мысли. Вдруг: как же я не догадался! как же все просто на самом-то деле! Почти отчаяние, почти слезы. Ну что ж, бывает.
Идеи МЦНМО правильные и нужные. Конечно, необходимо объединять усилия преподавателей математики в разных школах города и страны. Конечно, необходима информация о кружках и математических классах. Необходимо издание научно-популярной литературы о математике и физике, которое практически прервалось в девяностые и вновь понемногу начинается в последние годы, в частности, издательством МЦНМО. И одной из важнейших задач является переиздание огромной, накопленной за целые десятилетия замечательной научно-популярной литературы.
Один из самых впечатляющих проектов Центра — собрание всех номеров журнала “Квант” (http://kvant.mccme.ru) начиная от самого первого номера 1970 года. Когда вышел первый номер, я был еще слишком юным, чтобы читать этот трудный журнал, и прочел я его уже на сайте Центра. С трепетом и замирающим сердцем. Уже за одно только это ощущение я благодарен создателям проекта.
Он еще не завершен. Но уже сегодня на сайте выставлены журналы с 1970 по 1988 год, за 1991-й и отдельные номера последних лет. Все журналы необходимо собрать и выставить. Я верю, что это будет сделано.
Журнал “Квант” — это научный журнал для школьников, посвященный математике и физике. Людям моего поколения не нужно объяснять, что это такое. В последние годы, конечно, тираж журнала резко упал, и это связано с целым комплексом условий — в частности, с катастрофическим падением престижа математического и вообще фундаментального образования. (Об этом много и глубоко говорит академик Арнольд, собрание статей которого — один из самых интересных материалов сайта Центра.) “Квант” продолжает выходить. Когда-то он был практически единственным всесоюзным научно-популярным изданием такого высокого уровня, которое собрало лучших математиков и физиков страны. Огромное внимание “Кванту” уделял великий математик Андрей Колмогоров.
Журнал пронизан ощущением поиска и открытия. Рассказать о глубокой математической проблеме, не привлекая (или почти не привлекая) сложный технический аппарат, на овладение которым требуются иногда годы напряженной работы, очень трудно, но авторы “Кванта” находили и находят нужные слова.
Сейчас очевидно, что собрание статей журнала — это золотой фонд и математического образования, и даже математической науки — потому что статья для “Кванта” всегда требовала от математика отойти на шаг от своей узкой проблематики и взглянуть на нее глазами заинтересованного социума — то есть извне. А это совершенно необходимо, например, для того, чтобы понять: нужно ли кому-то еще то, что я делаю. К статьям журнала следует возвращаться — и снова перечитывать и переоткрывать проблемы и идеи, однажды поднятые на его страницах. Теперь все это есть на сайте.
Естественным дополнением и развитием статей “Кванта” является серия “Библиотека математического просвещения” — издание лекций, прочитанных ведущими математиками на Малом мехмате — математических кружках мехмата МГУ (http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books). Очень многие книги серии доступны на сайте.
Математика, такая, какой она предстает на страницах “Кванта”, та, которой занимается Малый мехмат, — это не тот предмет, которому, как правило, учат на уроках геометрии или алгебры в школе.
Здесь и не нужно, и не достаточно механических навыков и стереотипных умений. Здесь нужны другие способности. Это математика подлинная, которая, конечно, не сводится к знанию таблицы умножения или даже умению дифференцировать.
Это задачи, чьи решения внезапно рождаются из внешнего первоначального хаоса условий, как “магический кроссворд с проблеском истины в перспективе” (Сергей Гандлевский говорил это о поэзии, а мне всегда казалось, что и о математике тоже).
Эти задачи требуют не припоминания вызубренных заранее знаний и навыков, а умения думать сейчас и здесь, умения так повернуть условия, чтобы вдруг проявился этот неожиданный, укрывшийся в условиях порядок. Человек, даже очень хорошо выучивший школьный курс, но не понявший, как же соотносятся части того целого, которое называется языком математики (пускай даже самого начального), часто не может решить простой задачи, с какой легко справляется шестиклассник на кружке.
Николай Работнов в своей статье “Гимн Языку” писал:
“Высказывание Гиббса └Математика — это язык!” (сделанное в университетской дискуссии о приоритетах — математика или иностранные языки) цитируют нередко, но по-настоящему не воспринимают. А воспринимать его надо буквально. На этом языке написана великая литература. Можно даже сказать — величайшая, потому что, например, по количеству несомненно гениальных авторов — их сотни — с ней не сравнится ни одна из национальных литератур на естественных языках…
Одним из признаков высшего совершенства в искусстве является лаконизм. Смею сказать — вряд ли что-нибудь сравнится в этом отношении с шедеврами математики и теоретической физики. Здесь нередки случаи, когда итогом жизни гения являются всего несколько символьных строчек. Достаточно привести один пример. Уравнения электромагнитного поля (уравнения Максвелла) можно записывать по-разному, но в самой компактной, так называемой тензорной, форме они содержат всего пятнадцать символов. В этой строчечке умещается вся классическая электродинамика, она описывает принцип и детали действия всех электрических машин и приборов, распространение радиоволн и геометрическую оптику. Ее содержание расшифровывается до сих пор, разворачиваются все новые и новые лепестки этого фантастического веера” (http://magazines.russ.ru/znamia/2002/6/rabot.html).
Ученик, который приходит на кружок, приходит на математическую олимпиаду, который перелистывает страницы “Кванта”, сталкивается именно с этим великим или даже величайшим языком.
Математика ни в коем случае не сводится к набору инструкций или правил действия с числами, формулами или геометрическими фигурами. (Нужно сказать, что на сайте находится одно из лучших собраний геометрических задач с решениями — http://zadachi.mccme.ru, — но, не знаю почему, оно очень часто оказывается недоступно, хотелось бы, чтобы такого рода технических накладок было поменьше — эти мелочи портят и убивают очень хорошо сделанную огромную работу.) Все это необходимо уметь, но гораздо важнее другие умения: например, способность отстраниться, отодвинуться от задачи и взглянуть на нее с позиций более общих или, напротив, попытаться сначала найти частное решение для простого случая, которое потом можно было бы обобщить.
Это та математика, которая несравнимо ближе к подлинной математической науке, чем стандартный общешкольный инструктаж.
На сайте, кроме полного перечня всех математических олимпиад и их результатов, есть и список московских математических школ. Здесь есть ссылки на сайты 2-й (http://www.school2.ru), 57-й (http://www.sch57.msk.ru), 91-й (http://www.91.ru) и других знаменитых и новых школ. Конечно, эти школы предъявляют к ученику довольно высокие требования, и если на кружок может прийти любой ученик, то поступить, скажем, во 2-ю школу смогут немногие — уже, как правило, выбравшие математическое образование. Но и эти школы совершенно необходимы, потому что, если ребенок значительно опережает по своему математическому развитию сверстников, его потребность в познании нужно удовлетворять, его энергию нужно использовать в мирных целях, а то ведь могут пострадать и он сам, и окружающие. Если ребенок хочет учиться математике, его нужно учить — то есть создавать максимально благоприятные условия и со стороны учителей, и, что также крайне важно, со стороны коллектива одноклассников. Это и пытаются дать математические школы, хотя я далек от идеализации сегодняшнего состояния дел в специализированном математическом образовании школьников.
Одним из самых интересных и важных материалов, представленных на сайте, является, как уже было сказано, собрание статей академика Владимира Арнольда, посвященных математическому образованию (http://www.mccme.ru/edu/index.php?ikey=articles).
Состояние этого образования вызывает у него крайнюю озабоченность. В статье “Математика и математическое образование в современном мире” он пишет:
“Выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой. Выросли целые поколения профессиональных математиков и преподавателей математики, умеющих только это и не представляющих себе возможности какого-либо другого преподавания математики.
Наиболее характерными приметами формализованного преподавания является изобилие немотивированных определений и непонятных (хотя логически безупречных) доказательств. Отсутствие примеров, отсутствие анализа предельных случаев и предела применимости математических теорий, отсутствие чертежей и рисунков — столь же постоянный недостаток математических текстов, как и отсутствие внематематических приложений и мотивировок понятий математики.
Уже Пуанкаре отмечал, что есть только два способа научить дробям — разрезать (хотя бы мысленно) либо пирог, либо яблоко. При любом другом способе обучения (аксиоматическом или алгебраическом) школьники предпочитают складывать числители с числителями, а знаменатели — со знаменателями.
Математика является экспериментальной наукой — частью теоретической физики и членом семейства естественных наук. Основные принципы построения и преподавания всех этих наук применимы и к математике. Искусство строгого логического рассуждения и возможность получать этим способом надежные выводы не должно оставаться привилегией Шерлока Холмса — каждый школьник должен овладеть этим умением. Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно быть неотъемлемой частью математического образования. Успех приносит не столько применение готовых рецептов (жестких моделей), сколько математический подход к явлениям реального мира. При всем огромном социальном значении вычислений (и computer science) сила математики не в них, и преподавание математики не должно сводиться к вычислительным рецептам”.
Арнольд пишет и о том, что Колмогоров приглашал его участвовать в разработке учебников математики, по которым учились в семидесятые — восьмидесятые годы советские школьники, и Арнольд отказался от лестного и выгодного предложения по соображениям идеологическим. Потому что нельзя начинать обучение математике с аксиом. Двенадцатилетний ребенок просто не в силах понять, зачем ему нужно специально заучивать такие интуитивно совершенно очевидные вещи, как то, например, что через две точки можно провести одну, и только одну, прямую. Нельзя учить складывать дроби, вводя Дедекиндовы сечения или кольцо Гротендика. Тем более, что исторически аксиоматика очень часто не столько основание математической теории, сколько ее завершение.
Но нельзя и отказываться от доказательств тоже. Иначе математика становится тем самым набором рецептов и инструкций. Результаты — это плоды, и если я не представляю себе, как они получены, то не представляю себе и того, как можно получать новые результаты. Тогда я думаю, что яблоки растут на витринах супермаркета. А если я это усвоил с детства, то меня уже не переубедить.
Доказательства — это корни и ветви единого математического дерева. Без них математика так же мертва, как и без приложений. А доказательства должны быть корректными и строгими, что само по себе требует изучения логики и оснований математики, в частности анализа аксиом.
Владимир Успенский пишет в своей книге “Труды по нематематике”: “В 50-х годах прошлого века, по возвращении с индийских научных конференций, мои московские математические коллеги с изумлением рассказывали мне, что в Индии математику — при стандартном разделении наук на естественные и гуманитарные — относят к наукам гуманитарным. Хотя такое местоуказание математики, на мой взгляд, совершенно справедливо, я все же буду придерживаться традиционного для отечественной культуры противопоставления” (http://www.mccme.ru/free-books/usp.htm).
Арнольд — крупнейший в мире специалист в области дифференциальных уравнений — области, самой близкой к приложениям как в теоретической физике, так и в экономике. И его взгляд на математическое образование во многом этим определяется. Владимир Успенский — логик, и, конечно, его более интересует гуманитарная составляющая математического знания. И та и другая точка зрения совершенно правомерны и необходимы, хотелось бы только, чтобы они не входили в прямой конфликт, а дополняли друг друга и в научном исследовании, и в математическом образовании школьников.
“Я — математик”, — гордо сказал Норберт Винер. “…Я все же понял └нутром”, так сказать, что я — математик: тот, кто занимается математикой, в полном смысле этого слова, так, как └занимаются” любовью. Математика стала для меня возлюбленной, всегда благосклонной к моим желаниям” (Александр Гротендик, “Урожаи и посевы” — http://www.mccme.ru/free-books/recoltes.ps).
Математиков уровня Винера и Гротендика в двадцатом веке очень немного. Оба они математики в превосходной степени, чистая культура профессии.
Никогда я не мог и не смогу сказать о себе так. Математика была и осталась рядом со мной. Но я не вошел в волшебный сад — как называл математику Гильберт. Я остановился у калитки. Не знаю почему. Может быть, я шел со слишком громоздкой поклажей и попросту не протиснулся в двери. А может быть, не хватило терпения и таланта.
Сейчас я с каким-то щемящим чувством слежу за тем, как мой сын делает самые первые шаги к этой калитке. Решает задачи, говорит первое “ах!”. Расстраивается, не найдя очевидного (когда уже знаешь, оно почему-то всегда очевидное) решения. Он только учится говорить, я бы хотел, чтобы он научился, чтобы он почувствовал удивительную пластику смысла, которая есть только в математике. (Я работал не только в математике, и мне есть с чем сравнивать.)
Я помню, как над столом моего университетского товарища прочел написанное от руки изречение Пуанкаре: “На свете есть только две вещи, которыми стоит заниматься: изучение математики и преподавание ее”. Мой товарищ был одним из первых на курсе. Все обещало блестящее будущее… Сейчас он зарабатывает себе на хлеб, преподавая абитуриентам азы, натаскивая их на вступительные… Но он остался верен императиву Пуанкаре, пусть и в таком вырожденном виде.
Однажды Гильберта спросили о его ученике. Великий математик раздраженно ответил: “Он стал поэтом, для математики у него было слишком слабо развито воображение”. У меня, как и у ученика Гильберта, воображения не хватает. Не только чтобы увидеть “сумасшедшие кабардизмы” академика Фоменко, но и обычных героев обычной прозы — я могу увидеть одежду, фигуру, даже походку, но вместо лица всегда написано имя, что бы автор ни говорил и как бы его ни разрисовывал. Разве только Толстой…
Кстати, рисунки Фоменко кажутся мне не более чем профанацией тех абстракций, которые действительно видит математик (а Фоменко, может быть, и аховый хронолог, но математик-то настоящий). Они соотносятся как книга и плохая экранизация.
Когда я читал Гегеля или Шеллинга, то постоянно строил модели из Анализа и Теории множеств. Математика была и осталась для меня той осязаемой реальностью, которая помогает почувствовать гегелевский, совершенно нечитабельный на самом-то деле текст.
Говоря сегодня о математическом образовании, невозможно не коснуться реформы образования, которая висит над средней школой как дамоклов меч. У нас и на сегодняшний день одна из лучших в мире систем математического образования. И это можно утверждать вполне уверенно. По крайней мере мои однокурсники, разъехавшиеся по всем университетам мира, говорят это в один голос. То, что в США не все слава богу с математикой в школе, прекрасно знает американский президент, и зачем нам нужно копировать худший образец, понять нельзя.
“Федеральное правительство должно служить не системе, а детям.
Реформа образования будет основным направлением деятельности моего правительства.
Качество образования, предлагаемого нашими государственными школами, непосредственно касается нас всех — как родителей, как учащихся и как граждан своей страны. Тем не менее многие дети в Америке поставлены в неравные условия из-за заниженных требований, безграмотности и сомнения в собственных силах. В постоянно меняющемся мире, где от работников требуется владение все более сложными навыками, детям в буквальном смысле не находится места.
Так быть не должно”.
Проект программы реформ в области образования Президента Соединенных Штатов Америки Джорджа Буша (документ находится на веб-сайте Правительства США по адресу: http://www.whitehouse.gov/news/reports/no-child-left-behind.html и приведен в электронном журнале “Курьер образования” — http://courier.com.ru/top/content/proposal.pdf).
Я хочу обратить особое внимание на слова американского президента: заниженные требования есть нарушение равноправия. Именно заниженные, а не завышенные, с которыми собрались всеми силами бороться сторонники образовательной реформы.
Наша система математического образования — может быть, единственное по-настоящему хорошее из того, что досталось нам в наследство от советской системы. Так давайте его сохраним, в первую очередь в память о людях, которые эту систему образования создали. Разрушить можно, и даже легко, восстановить потом будет уже нельзя, потому что восстанавливать будет некому.
Сайт МЦНМО — это замечательный ресурс, который самим своим существованием и работой противостоит профанированию школьной математики, отстаивает возможность школьника избежать разлагающего влияния заниженных требований.
Александр Пятигорский в своем романе “Философия одного переулка” говорит об отношении между учителем и учеником: истина не передается, а возникает внутри коммуникации учитель — ученик. Коммуникация — это место, где есть потенциал истины.
Потенциал, возможность. Истина может возникнуть, у нее есть шанс, но не больше.
В конечном счете главное в любом образовании — это учитель. И именно к учителю в первую очередь обращено большинство материалов сайта МЦНМО. И я верю, что они ему помогут.